デルタ関数とその性質

2022 6/4

2021-10-3

図1デルタ関数の図示

デルタ関数（読み）でるたかんすう

デルタ関数はディラックが1925年ころ量子力学の理論体系を整備するために導入したもので、

という性質をもつものとして定義された。したがって、これは普通にいう関数ではないが、ディラックは物理学的な直観から、実軸上の連続関数(x)に対し、

という公式や、また、デルタ関数の微分を考え、

などの公式を導き、積分因子としては積分の値が決まるものとし、しかも、いろいろな物理現象の計算に有効に使った。このような形式的な取扱いに数学的に厳密な証明を与える試みはいくつかあったが、1950年ころL・シュワルツが超関数の理論をつくり、これを完全に解決した。無限回連続微分可能な関数で、|x|が大きいところでは恒等的に0になる関数の集合をで表し、(x)∈に対し、線形汎(はん)関数δをδ()=(0)で表すと、δは超関数になる。これをディラックの伝統に従って

と書き、超関数の微分法に従って微分すると

など、前に書いた微分の公式が得られる。

関数(x)のフーリエ変換を(ξ)で表す。超関数のフーリエ変換の定義に従って、デルタ関数のフーリエ変換を計算すると、
=1,′=iξ,……, (m) =(iξ) m
となる。この性質は、応用において重要である。

デジタル大辞泉「デルタ関数」の解説

デルタ‐かんすう〔‐クワンスウ〕【デルタ関数／δ関数】

ディラックが量子力学において導入した関数。通常、δ（x）と記述され、δ（x）＝0（x≠0）かつδ（0）＝∞であり、xの全直線上での定積分が1となる性質をもつ。その有用性から便宜的に用いられていたが、のちにシュワルツが超関数として数学的に厳密な定義づけをした。
[補説]工学分野では、単位インパルス関数・インパルス関数・衝撃関数とよばれる。

精選版日本国語大辞典「デルタ関数」の解説

デルタ‐かんすう ‥クヮンスウ【デルタ関数】

〘名〙理論物理学研究上の必要から、ディラックが導入した数学的対象 δ(x) のこと。関数に類似しているのでその名がある。次の四条件によって定義される。δ(0)=∞δ(x)=0(x0) 全直線上での定積分は１に等しい。それと複素数値関数 (x) との積の全直線上での定積分は (0) に等しい。

デルタ関数とその性質

デルタ関数

図1デルタ関数の図示

原点で一本縦にピークが立っているような見た目ですね。さて、上では$\delta(x)$を考えていますが、例えば$\delta(x-a)デルタ関数とその性質 $なら、 \begin \delta(x-a)= \begin 0 & x \neq a \\ \infty & x=a \\ \end \end のようになります。これは丁度、発散する位置が$a$だけ平行移動した形になっています。
また、定義式(\ref)式と見比べると、$\delta(x-a)$が$a$以外で$0$なので、$f(x)$ のうち$f(a)$のみが抽出されているのだと理解できます。

ちなみにですが、(\ref)式は適当な$f(x)$で成り立つ式なので当然$f(x-a)$についても \begin \int_<-\infty>^ <\infty>f(x-a) \delta(x-a)dx=f(a-a)=f(0) \end がいえます。ここで$t=x-a$と置くと \begin \int_<-\infty>^ <\infty>f(t) \delta(t) dt=f(0) \end のように原点にピークを持つデルタ関数の表式に帰着できます。このため、デルタ関数の定義を以下のように書くこともあります。

基本的な性質(レベル1～2)

デルタ関数の定義(デルタ関数とその性質 \ref)式において、$f(x)=1$の場合を考えると明らかです。図1のグラフを見ると原点で形式上発散していますが、積分するとこれは$1$になるということです。これはデルタ関数の持つ基本中の基本的な性質ですね。

デルタ関数は(\ref)式のように、積分の中で定義される関数である。ゆえにデルタ関数についての等式は、暗に積分の中にあると約束する。

ここから、いくつかデルタ関数の満たす性質(等式)を説明しますが、デルタ関数は普通の関数とは違って積分の中でしか定義されません。なのでそのことを念頭に置く必要があります。

例えば(\ref)式と(\ref)デルタ関数とその性質式より、 \begin \int_<-\infty>^ <\infty>f(x) \delta(x-a)dx &=& f(a) \\ f(a) \int_<-\infty>^ <\infty>\delta(x-a)dx \ &=& f(a) \end なので、両者は等しく \begin & & \int_<-\infty>^ <\infty>f(x) \delta(x-a)dx \nonumber \\ \label &=&\int_<-\infty>^ <\infty>f(a) \delta (x-a)dx \end が成り立ちますが、これを単に積分を略記して \begin \label f(x) \delta(x-a)=f(a) \delta (x-a) \end とすることが多々あります。しかし、デルタ関数は積分の中にあって始めて定義される関数なので、本当の意味は(\ref)式ということを忘れないようにしましょう。

$\delta(x)$と適当な関数$f(x)$について以下が成り立つ \begin f(x) \delta(x-a)= f(a) \delta (x-a) \tag> \end 特に、$f(x)=(x-a)$の時、 \begin (x-a) \delta(x-a)= 0 \end である。これは両辺をそれぞれ積分すると確認できる。

$\delta(x)$は偶関数の性質を持つ。即ち \begin \delta(x)= \delta(-x) \end である。

デルタ関数

図1のグラフ (再掲)図1：デルタ関数の図示から何となく想像できますが、デルタ関数は偶関数のような性質を持っています。
ただし、上で述べた通り、この等式は積分の中に入って初めて意味を持つので注意してください。この性質より、$デルタ関数とその性質 f(x)$が奇関数の時、 \begin \int_<-\infty>^ <\infty>f(x) \delta(x)dx=0 \end になります。典型的なのは、$f(x)=x$の場合などです。

$a$を$0$ではない実数として、デルタ関数について以下が成り立つ。 \begin \label \delta(ax)= \delta(x) \end

比較的よく使うデルタ関数の公式です。証明はデルタ関数の公式(基本編)を参照してください。

デルタ関数は発散するか$0$しかないので、だけスケールが変わっても無意味なように思えるかもしれません。このような係数がつく理由は「デルタ関数が積分して$1$になる」という性質のためです。 \begin \int_<-\infty>^ <\infty>\delta(|a|x)d|a|x=1 \end 上記のように、積分要素が$dx \to d(|a|x)=|a| dx$だけ変わった時、その変化を打ち消すように $\delta(x) \to \delta(|a|x)= \delta(x)$だけ変化すれば、辻褄があって確かに$1$になることが分かります。

デルタ関数は \begin \delta(x)= \begin 0 & x \neq 0 \\ \infty & x=0 \\ \end \tag> \end のように、ピーク以外の値は$0$である。ゆえに、ピーク以外の積分範囲は落としても計算に支障はない。例えば \begin & & \int_<-\infty>^ <\infty>f(x) \delta(x)dx \nonumber \\ &=& \int_^ f(x) \delta(x)dx = f(デルタ関数とその性質デルタ関数とその性質 0) \end ただし、$\varep$は正の微小な数。

物理の問題では積分範囲が \begin \int_<-\infty>^ <\infty>f(x) \delta(x-a)dx=f(a) \tag> \end のように$-\infty ～ \infty$であるとは必ずしも限りません。そんな時はこの考え方が役に立ちます。

積分範囲に関する公式です。 $\delta(x-a)$は$x=a$以外では$0$ なので、積分範囲に$a$を含まない限り、どんな範囲で積分しても$0$になります。逆に、$a$ を含む範囲なら、それが有限である限り値を返します。

合成関数のデルタ関数(レベル2)

デルタ関数について以下が成り立つ。 \begin \label \delta(f(x))= \sum_<1 \over |f'(a_) |> \delta(x-a_) \end ただし、$a_$は$i$番目の$f(x)$デルタ関数とその性質 が$0$になる点で、和はそれが複数ある場合に取る。$f'(a_)$は $f(x)$の導関数の$a_$での値。

デルタ関数が合成関数になりました。複雑に見えますが、簡単な例を考えると感覚が掴みやすいです。例えば$f(x)=ax$として選ぶと、$f(x)=0$になる点は$x=0$しかないため和は不要であって \begin \delta(ax)= ) |> \delta(x-a_) \end また今回は$a_=0$で、$f'(0)=a$なので \begin \delta(ax)= \delta(デルタ関数とその性質 x) \end になります。これは定数倍の時の式(\ref)に一致しています。

$f(x)=0$の点が複数ある例としては $f(x)=x^2-a^2$が有名です。これは$f(\pm a)=0$なので二つの点$x=\pm a$で和を取る必要があります。結果を書くと以下のようになります。

デルタ関数の微分(レベル2)

デルタ関数の微分について、以下が成り立つ。 \begin f(x)\frac \delta(x)=-\delta (x) f'(x) \end ここに、$f'(x)$は$f(x)$の導関数。

この公式を使えば、デルタ関数のテイラー展開を形式的に定義でき、例えば$\delta(x+a)$を $a$が微小と思って展開すると \begin f(x)\delta(x+a)&=&f(x)\Bigl\\delta(x)+ \cdots \Bigr\> \nonumber \\ &=& \Bigl\a+ \cdots \Bigr\>\delta(x) \nonumber \\ &=& \Bigl\a+ \cdots \Bigr\>\delta(x) \end のように変形できます。ちなみに、最終行右辺の中括弧の中身は$f(-a)$のテイラー展開になっているので上の式はデルタ関数とその性質 \begin f(x)\delta(x+a) = f(-a)\delta(x+a) \end デルタ関数とその性質と同値です。これはデルタ関数の持つ性質(\ref)式そのものであり、ちゃんとデルタ関数のテイラー展開が矛盾なく機能していることがみてとれます。

多変数の場合(3次元,極座標など)(レベル2)

物理で使うデルタ関数は(\ref)式のように1次元であることはまれであり、 3次元または2次元デルタ関数とその性質であることが多いです。また、多次元で考えるとおのずと変数も増えるので多変数になります。ここでは多変数の場合のデルタ関数について簡単に確認します。

$\delta^3(\bs)$は 3次元のデルタ関数であり、その意味はデカルト座標において \begin \label \delta^3(\bs-\bs)=\delta(x-X)\delta(y-Y)\delta(z-Z) \end である。

物理でよく目にする表式です。ベクトルが引数になっていて初見だと戸惑うかもしれませんが、これはデカルト座標の場合$\bs=(x,y,z),\bs=(X,Y,Z)$の略記であって、その意味は(\ref)式の右辺であることに注意してください。同様に2次元の場合は \begin \delta^2(\bs-\bs)=\delta(x-X)\delta(y-Y) \end のようになります。いずれの場合も、各成分ごとのデルタ関数は1次元と同じ性質を示します。また、全空間で積分すると \begin & & \int \mathrm \delta^3(\bs-\bs) \nonumber \\ &=&\int_<-\infty>^ <\infty>\mathrm \int_<-\infty>^ <\infty>\mathrm \int_<-\infty>^ <\infty>\mathrm \delta(x-X)\delta(y-Y)\delta(z-Z) \nonumber デルタ関数とその性質 \\ &=&1 \end

極座標の場合、デルタ関数は \begin \delta^3(\bs-\bs)=\frac\delta(r-R)\delta(\theta-\Theta)\delta(\phi-\Phi) \end である。

極座標の場合の表式です。前に係数$r^2 \sin \theta$が付いている理由は極座標変換すると、 \begin 1&=& \int_<-\infty>^ デルタ関数とその性質 <\infty>\mathrm \int_<-\infty>^ <\infty>\mathrm \int_<-\infty>^ <\infty>\mathrm \delta^3(\bs-\bs) \nonumber \\ &=& \int_^ <\infty>\mathrm \int_^ <\pi>\mathrm\int_<-\pi>^ <\pi>\mathrm\ r^2 \sin \theta \delta^3(\bs-\bs) \end (極座標の積分範囲に注意) のようにヤコビアンが出てくるので、それを打ち消すためです。定数倍(\ref)式の時と同じ理由ですね。

(\ref)式で、$a$が定数ではなく、変数を含む場合も考えることができます。その場合でも、普通のデルタ関数と同じように引数が$0$、つまり$x=a-y+b$の時ピークが立ち、それ以外ではデルタ関数は値が$0$になるので、上の式のようになります。